Золотой билет. P, NP и границы возможного - Фотноу Лэнс

Или не очень? Представьте, что для любой поставленной задачи тут же появляется программа со всей необходимой функциональностью. Например, вы загружаете в компьютер ролик, в котором человек завязывает галстук, и через секунду механические руки уже воспроизводят этот процесс. Или подаете на вход полное собрание сочинений Шекспира, а компьютер в ответ сочиняет новую «шекспировскую» пьесу. Представьте: все, что можно описать словами, можно и создать. Реально ли это? Да – но только если P равно NP.

Вот почему проблема равенства P и NP так будоражит умы. Неужели все задачи мы сможем щелкать как орешки? Или над некоторыми все же придется трудиться? Ответа пока нет, хотя на самом деле на «халяву» мало кто надеется. Вряд ли когда-нибудь выяснится, что P = NP; и все же помечтать об идеальном мире бывает очень и очень приятно.

P против NP

Проблема «P против NP» касается не только описанных выше задач, но и тысяч других, схожих с ними по сути. Насколько быстро можно перебрать огромное число потенциальных вариантов? Насколько трудно будет отыскать тот самый золотой билет, т. е. оптимальное решение поставленной задачи?

Впервые проблема равенства классов упоминается еще в 1956 году – в письме, которое один величайший математик XX века, Курт Гёдель, отправил другому величайшему математику XX века, Джону фон Нейману. К сожалению, вплоть до восьмидесятых о письме ничего не было известно, а вот первые официальные публикации появились в начале семидесятых. Авторы – Стивен Кук и Леонид Левин – независимо друг от друга пришли к одному и тому же вопросу, находясь по разные стороны «железного занавеса». Вслед за этим Ричард Карп опубликовал свой знаменитый список из двадцати одной задачи: все они, включая маршрут для коммивояжера и разбиение на группы, были эквивалентны проблеме «P против NP». Постепенно научное сообщество осознало важность поднятых вопросов, и в развитии информатики наступил поворотный момент. Сейчас проблема равенства классов уже стала основополагающей – причем не только в информатике, но также в биологии, медицине, экономике, физике и многих других областях.

Со временем этот вопрос заработал статус одной из самых трудных задач в истории математики. Шумиха вокруг доказательства Великой теоремы Ферма, предложенного в 1994 году Эндрю Уайлсом, побудила Математический институт Клэя организовать нечто вроде конкурса по решению сложнейших открытых математических проблем. В 2000 году институт опубликовал список из семи «задач тысячелетия» и за каждую из них объявил награду в один миллион долларов. Вот они:

1. Гипотеза Берча–Свиннертон–Дайера.

2. Гипотеза Ходжа.

3. Уравнения Навье–Стокса.

4. Проблема равенства P и NP.

5. Гипотеза Пуанкаре.

6. Гипотеза Римана.

7. Теория Янга–Миллса.

Гипотезу Пуанкаре в 2003 году доказал Григорий Перельман, однако от вознаграждения ученый отказался. Остальные шесть задач тысячелетия на момент написания книги по-прежнему остаются открытыми.

Решите проблему «P против NP» – и получите настоящий золотой билет, т. е. миллион долларов США!

Лучше всего, конечно, если вы установите равенство P и NP: тогда у вас будет алгоритм для поиска всех золотых билетов (т. е. решения всех остальных задач из списка). Докажете, что P = NP, – получите шесть миллионов за решение шести задач тысячелетия. Впрочем, доказать как равенство, так и неравенство классов будет очень и очень непросто; если вам нужны шесть миллионов, вы скорее выиграете их в лотерею.

В поисках билета