Наша математическая вселенная. В поисках фундаментальной природы реальности - Макс Тегмарк (2014)

Наконец, описание двух крайних справа паттернов на рис. 12.7 требует по 9 битов. Мы знаем, что правый нижний паттерн спрятан среди 16 384 цифр √2, но для такого маленького паттерна это знание уже неинтересно и бесполезно: существует лишь 29 = 512 возможных паттернов длиной 9, так что данный узор прячется в большинстве случайно выглядящих строк из тысячи 0 и 1.

На рис. 12.8 изображена красивая математическая структура, известная как множество (фрактал) Мандельброта. Она обладает тем замечательным свойством, что сложные паттерны существуют в ней на сколь угодно малых масштабах, и хотя многие из них кажутся похожими, повторяющихся среди них нет. Насколько сложны два приведённых изображения? Каждое содержит около 1 млн пикселов, которые, в свою очередь, представляются 3 байтами информации[86] (байт равен 8 битам), а значит, для описания каждого изображения требуется несколько мегабайт. Однако левое изображение можно вычислить с помощью программы длиной всего в несколько сотен байтов, многократно выполняющей простое вычисление z2 + c.

Правое изображение тоже простое, поскольку является крошечной частью левого. При этом оно немного сложнее: чтобы указать 20-значный номер одной из 1020 частей, дополнительно требуется 8 байтов информации. Так что вновь меньшее становится большим в том смысле, что видимое информационное содержание увеличивается, когда мы ограничиваем своё внимание малой частью целого, теряя симметрию и простоту, характерные для совокупности частей. А вот ещё более простой пример: алгоритмическое информационное содержание произвольного числа, записываемого триллионом цифр, существенно, поскольку кратчайшая программа, печатающая это число, не может быть чем-то гораздо лучшим, чем просто записью всего триллиона цифр. Однако список всех чисел 1, 2, 3, … может быть сгенерирован совершенно тривиальной компьютерной программой, так что сложность множества меньше сложности типичного его члена.

Рис. 12.8. Несмотря на миллионы искусно раскрашенных пикселов, множество Мандельброта (слева) имеет очень простое описание: точки на рисунке соответствуют тому, что математики обозначают комплексным числом c, а цвет указывает, насколько быстро комплексное число z устремляется к бесконечности, если начать с z = 0 и продолжать вводить его в квадрат, прибавляя c, то есть повторно применяя преобразование z = z2 + c. Парадоксально, но описание правого изображения требует больше информации, несмотря на то, что оно лишь малая часть левого: если разрезать множество Мандельброта примерно на сто триллионов триллионов частей, оно само окажется одной из них, а информация, содержащаяся на правом изображении, по сути, соответствует её адресу внутри большого изображения, поскольку самый экономичный способ описать её — сказать нечто вроде: «31 415 926 535 897 932 384-й фрагмент множества Мандельброта».

Теперь вернёмся к нашей физической Вселенной и почти гуголу битов, которые, по-видимому, требуются для её описания. Стивен Вольфрам, Юрген Шмидхубер и некоторые другие учёные задумались, не является ли по большей части эта сложность иллюзией, подобно сложности множества Мандельброта или левого нижнего паттерна на рис. 12.7, то есть возникающей благодаря ещё не открытому, но очень простому математическому правилу. Хотя эта идея кажется мне элегантной, я с ней не согласен: по-моему, маловероятно, чтобы все числа, характеризующие нашу Вселенную, от паттернов на картах космического микроволнового фона, полученных WMAP, до положения песчинок на пляже, могли сводиться к почти полному ничто за счёт простого алгоритма сжатия данных. На самом деле, как мы видели в гл. 5, космологическая инфляция явно предсказывает, что первичные космические флуктуации, из которых появилась значительная доля этой информации, распределены как случайные числа, для которых существенное сжатие данных невозможно.