История твоей жизни (сборник) - Тед Чан (2002)

– Я открыла формализм, который позволяет приравнять любое число к любому другому числу. На этой странице доказывается, что один равен двум. Выбери любые два числа; я могу доказать, что и они тоже равны.

Карл как будто пытался что-то вспомнить.

– Это ведь деление на ноль, верно?

– Нет. Тут нет никаких запрещенных операций, никаких некорректно заданных условий, никаких независимых аксиом, которые бы подразумевались имплицитно, ничего. В доказательстве не использовано решительно ничего запретного.

Карл покачал головой.

– Подожди-ка. Очевидно, что единица не равна двум.

– Но формально равна – доказательство ты держишь в руке. Все мною использованное – в рамках абсолютно бесспорных утверждений.

– Но ты получила противоречие.

– Вот именно. Арифметика как формальная система является неполной.

6b

– Ты не можешь найти, где ошибка, это ты хочешь сказать?

– Да нет же, ты не слушаешь. Ты думаешь, я мечусь из-за такой малости? В доказательстве ошибки нет.

– Иными словами, ошибка в том, что считается общепринятым?

– Точно.

– Ты… – Он остановился, но слишком поздно. Она поглядела на него враждебно. Ну конечно, она уверена. Он задумался о том, что это подразумевает.

– Теперь понимаешь? – спросила Рене. – Я опровергла большую часть математики. Иными словами, она утратила смысл.

Она становилась все более возбужденной, почти пришла в смятение.

– Как ты можешь такое говорить? – Карл тщательно подбирал слова. – Математика все еще работает. Наука и экономика не рухнут вдруг из-за этого открытия.

– Это потому, что математика, которой они пользуются, всего лишь трюк. Мнемонический костыль, как считать костяшки пальцев, чтобы определить, в каком месяце тридцать один день.

– Но это не одно и то же.

– Почему же? Сейчас математика не имеет к реальности решительно никакого отношения. Куда там такие понятия, как мнимые числа и бесконечно малые величины! Теперь треклятое сложение целых чисел не имеет отношения к счету на пальцах. На пальцах один плюс один всегда выходит два, но на бумаге я могу дать бесконечное число ответов, и все они будут равно действительными и, следовательно, равно недействительными. Я могу написать самую элегантную теорему на свете, а значить она будет не больше, чем какое-нибудь дурацкое уравнение. – У нее вырвался горький смешок. – Позитивисты раньше говорили, мол, вся математика чистой воды тавтология. Они все напутали: она чистой воды противоречие.

Карл попытался зайти с другой стороны:

– Подожди. Ты только что упомянула мнимые числа. Почему твои выкладки хуже их? Когда-то математики считали, что они не имеют смысла, а сейчас они приняты как азы. Ситуация та же.

– Не та же! Там решение заключалось в расширении контекста, а здесь это ничего не даст. Мнимые числа привнесли в математику нечто новое, а мой формализм пересматривает уже существующее.

– Но если изменить контекст, посмотреть на это в другом свете…

Она закатила глаза.

– Нет! Это следует из аксиом с такой же непреложностью, как сложение; это никак не обойдешь. Поверь моему слову.

7

В 1936 году Герхард Гентцен привел доказательство полноты арифметики, но для этого ему пришлось прибегнуть к некоему спорному методу, известному как бесконечная индукция. Эта последняя не относилась к обычным методам доказательства и казалась мало уместной как гарантия непротиворечивости арифметики. Гентцен всего лишь доказал очевидное, допустив сомнительное.

7a