Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы - Артур Бенджамин, Майкл Шермер (2005)

Преимущество этого метода разложения для устных вычислений состоит в том, что вам не приходится слишком многое держать в памяти. Рассмотрим другой пример 75 х 63.

75 х 63 = 75 х (9 х 7) = (75 х 9) х 7 = 675 х 7 = 4725.

Как и прежде, вы упрощаете этот пример типа «2 на 2» путем разложения 63 на 9 х 7 и затем умножаете 75 на эти числа.

(Кстати, мы можем переставить скобки во втором шаге вычислений по ассоциативному, или сочетательному, закону умножения.)

63х75 = 63х(5х5х3) = (63х5)х5х3 = 315x5x3 = 1575x3 = 4725.

Потренируйтесь на следующем примере:

57 х 24 = 57 х 8 х 3 = 456 х 3 = 1368.

Здесь можно разложить 24 как 6 х 4 для перехода к другому простому варианту вычислений:

57 х 24 = 57 х 6 х 4 = 342 х 4 = 1368.

Сравните данный подход с методом сложения.

В рамках метода сложения необходимо решить две задачи на умножение типа «2 на 1», а затем суммировать результаты.

При использовании метода разложения вам нужно выполнить только два действия на умножение типа «2 на 1» и «3 на 1». Метод разложения обычно снисходителен к вашей памяти.

Помните ту трудную задачу на умножение из предыдущей части этой главы? Вот она:

Мы решили ее достаточно легко с помощью метода вычитания, но разложение работает еще быстрее:

89 х 72 = 89 х 9 х 8 = 801 х 8 = 6408.

Задача существенно облегчается тем, что в середине числа 801 находится 0. Следующий пример показывает, что поиск варианта разложения чисел, позволяющего воспользоваться подобной ситуацией (когда есть 0 в середине числа), часто бывает оправданным. Рассмотрим два способа вычисления 67 х 42.

67 х 42 = 67 х 7 х 6 = 469 х 6 = 2814.

67 х 42 = 67 х 6 х 7 = 402 х 7 = 2814.

Обычно 42 раскладывают как 7 х 6, следуя правилу «используй больший множитель в первую очередь». Но задачу легче решить, разложив 42 как 6 х 7, поскольку это приводит к созданию числа с 0 в середине, что облегчает умножение.

Я называю такие числа дружелюбными произведениями.

Ниже поиск дружелюбного произведения проведен в процессе умножения двумя способами.

43 х 56 = 43 х 8 х 7 = 344 х 7 = 2408.

43 х 56 = 43 х 7 х 8 = 301 х 8 = 2408.

Не показался ли вам второй вариант более легким?

Применяя метод разложения, выгодно отыскивать дружелюбные произведения везде, где только можно. Следующий список должен в этом помочь. Я жду от вас не столько его запоминания, сколько простого ознакомления с ним.

Практикуясь, вы научитесь интуитивно определять дружелюбные произведения, и этот список станет для вас хорошим подспорьем.

Числа с дружелюбными произведениями

12: 12 х 9 = 108.

13: 13 х 8 = 104.

15: 15 х 7 = 105.

17: 17 х 6 = 102.

18: 18 х 6 = 108.

21: 21 х 5 = 105.

23: 23 х 9 = 207.

25: 25 х 4 = 100, 25 х 8 = 200.

26: 26 х 4 = 104, 26 х 8 = 208.

27: 27 х 4 = 108.

29: 29 х 7 = 203.

34: 34 х 3 = 102, 34 х 6 = 204, 34 х 9 = 306.

35: 35 х 3 = 105.

36: 36 х 3 = 108.

38: 38 х 8 = 304.

41: 41 х 5 = 205.

43: 43 х 7 = 301.

44: 44 х 7 = 308.

45: 45 х 9 = 405.

51: 51 х 2 = 102, 51 х 4 = 204, 51 х 6 = 306, 51 х 8 = 408.

52: 52 х 2 = 104, 52 х 4 = 208.

53: 53 х 2 = 106.

54: 54 х 2 = 108.

56: 56 х 9 = 504.

61: 61 х 5 = 305.

63: 63 х 8 = 504.

67: 67 х 3 = 201, 67 х 6 = 402, 67 х 9 = 603.

68: 68 х 3 = 204, 68 х 6 = 408.

72: 72 х 7 = 504.

76: 76 х 4 = 304, 76 х 8 = 608.

77: 77 х 4 = 308.

78: 78 х 9 = 702.

81: 81 х 5 = 405.

84: 84 х 6 = 504.

88: 88 х 8 = 704.

89: 89 х 9 = 801.

Ранее в этой главе вы обучились легкому способу умножать числа на 11. Он применим в методе разложения в ситуации, когда один из множителей равен 11, как в данном примере.