Игра в имитацию - Эндрю Ходжес (2015)

В сущности программа Гильберта представляла собой более подробный вариант работы, над которой он начал трудиться в 1890-е годы. В ней не предпринималось попыток ответить на вопрос, занимавший Фреге и Рассела, а именно — чем на самом деле является математика. В этом отношении она носила менее философский характер и казалась менее претенциозной. С другой стороны, она имела большие перспективы в том отношении, что в ней автор ставил более глубокие и трудноразрешимые вопросы о природе таких систем, которые представил Рассел. Фактически Гильберт сформулировал проблему, требовавшую ответа на вопрос: в чем, в принципе, заключались пределы возможностей аксиоматической системы, подобной представленной в «Принципах математики». Существует ли способ выяснить, что могло быть доказано, а что нет в рамках подобной теории? Подход Гильберта назвали формалистским, поскольку он пытался интерпретировать математику через формализацию, которая, в принципе, превращает ее из системы знаний в игру со знаками и формулами, в которую играют по фиксированным правилам, сравнимую с шахматами. Допустимые шаги доказательства рассматривались как допустимые ходы в шахматной игре, фигурам соответствовал ограниченный — или неограниченный — набор знаков в математике; произвольной позиции фигур на доске — сочетание знаков в формуле. Одна формула или несколько формул рассматривались Гильбертом как аксиомы. Их аналог в шахматной игре — установленная правилами шахматная позиция в начале игры. По этой аналогии «игра шахматными фигурами» означала «производимые вычисления», а определенные формулы шахматной игры (например, если имеется два коня и король — поставить мат возможно лишь если защищающийся допустит грубую ошибку) соответствовали определенным правилам вывода, согласно с которыми новые формулы могли быть получены из заданных формул.

На конгрессе 1928 года Гильберт представил более конкретную формулировку своих вопросов. Во-первых, можно ли назвать математику полной в том смысле, что для каждого осмысленного утверждения (например, «всякое натуральное число есть сумма четырех квадратов целых чисел») существует свое доказательство или же опровержение. Во-вторых, можно ли назвать математику непротиворечивой или последовательной в том смысле, что утверждение «2 + 2 = 5» ни при каких условиях не могло быть получено в результате ряда операций, соответствующих правилам вывода. И, в-третьих, является ли математика разрешимой? Под этим имелось в виду, существовал ли определенный метод, который мог бы в принципе быть применен к любому утверждению и который гарантировано сможет ответить на вопрос, является ли утверждение верным.

В 1928 году ни одна из этих проблем не была решена. Однако Гильберт был уверен, ответ на каждый из его вопросов в результате окажется положительным. Ранее в своем докладе на Международном конгрессе в Париже он заявил: «Мы все убеждены в том, что любая математическая задача поддается решению. Это убеждение в разрешимости каждой математической проблемы является для нас большим подспорьем в работе, когда мы приступаем к решению математической проблемы, ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus», — и когда в соответствии с уставом университета Гильберт ушел в отставку в 1930 году, он заявил следующее:

Пытаясь привести пример неразрешимой проблемы, философ Конт однажды сказал, что науке никогда не удастся распознать секрет химического состава небесных тел. Спустя несколько лет эта проблема была решена… Истинная причина, из-за которой, по моему мнению, Конт не смог найти неразрешимую проблему, заключается в том, что в действительности такой вещи, как неразрешимая проблема, вообще не существует.

Такой взгляд на науку, казалось, был позитивнее, чем сами позитивисты. Однако, на том самом съезде юный чешский математик Курт Гёдель представил результаты своей работы, наделавшей немало шума.