Игра в имитацию - Эндрю Ходжес (2015)

Гёделю удалось доказать теорему о неполноте арифметики, которая гласила: не каждая определенная математическая проблема доступна строгому решению. Своё исследование он начинал с аксиом Пеано для арифметики целых чисел, а позже расширил его, применив простую теорию типов таким образом, чтобы система представляла множества целых чисел, множества множеств целых чисел и так далее. И всё же его доказательство оставалось применимым к любой формальной математической системе, которая включала в себя теорию чисел, а тонкости аксиоматики не играли решающей роли.

Затем ему удалось доказать, что все операции, производимые в ходе доказательства, то есть правила логической дедукции, применяемые в «шахматной партии», сами по себе являются арифметическими. Из этого следует, что используемые при доказательстве операции вычисления и сравнения с целью выявить, корректно ли одна формула заменена другой, точно так же верность текущего хода в шахматной партии может быть просчитана при помощи вычисления и сравнения возможных позиций шахматных фигур. Фактически Гёделю удалось доказать, что формулы его системы могут быть закодированы в виде целых чисел. Таким образом, целые числа могли представлять собой утверждения о них самих. В этом и заключалась основная идея его работы.

Затем он продолжил своё исследование и показал, как сами доказательства могут быть закодированы в виде целых чисел. Таким образом он получил целую теорию арифметики, закодированную в самой арифметике. Здесь он использовал идею, что, если математика рассматривается лишь как игра знаков, значит в ней могут быть также задействованы и числовые знаки, то есть цифры. Гёделю удалось доказать, что свойство «доказуемости» ровно настолько же арифметическое, как и свойства квадрата или прямоугольника.

В результате такого кодирования стала возможной запись арифметических высказываний, ссылающихся на самих себя, как в случае, когда человек говорит «Я говорю неправду». Более того, Гёделю удалось построить одно особое суждение, которое обладало таким свойством и в сущности заключалось в фразе «Это высказывание нельзя доказать». Из этого следовало, что данное суждение не имело доказательства своей верности, поскольку в таком случае возникло бы противоречие. Однако по той же причине назвать его неверным тоже не представлялось возможности. Подобное высказывание не могло быть доказано или опровергнуто методом логической дедукции из аксиом, таким образом Гёдель доказал неполноту арифметики, которую Гильберт обозначил в одном из своих вопросов.

Тем не менее удивительным свойством особого высказывания Гёделя оставалось то, что в силу своей «недоказуемости», в некотором смысле оно было верным. Но чтобы назвать его верным, требовался наблюдатель, который мог бы взглянуть на систему со стороны. Работая в пределах системы аксиоматики, подобное представлялось бы невозможным.