Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин (2015)

Рассказывать в подробностях про процесс деления в уме я здесь не буду: он мало чем отличается от деления в столбик на бумаге (но каким бы методом вы ни воспользовались, считать нужно слева направо). Но есть парочка уловок, которые значительно облегчат вам жизнь.

Скажем, если вы делите на 5 (или на любое число, заканчивающееся на 5), удвойте числитель и знаменатель, и задача станет проще. Например,

После удвоения обоих чисел хорошо видно, что и 246, и 9 кратны 3 (мы поговорим об этом подробнее в главе 3), поэтому задача упрощается до деления отдельно числителя и знаменателя на 3.

Отступление

Взгляните на взаимно обратные числа для чисел от 1 до 10:

1/2 = 0,5; 1/3 = 0,333…; 1/4 = 0,25; 1/5 = 0,2;

1/6 = 0,1666…; 1/8 = 0,125; 1/9 = 0,111…; 1/10 = 0,1

Все дроби здесь либо конечны, либо цифры в них начинают повторяться со второго знака после запятой. Единственным исключением является десятичная дробь от 1/7, повторение в которой начинается с седьмой цифры:

1/7 = 0,142857142857…

(Причина этой закономерности в том, что все другие числа от 2 до 11 делятся на 10, 100, 1000, 9, 90 или 99, ближайший же делитель для 7 – 999 999.) Если же записать цифры десятичного аналога 1/7 в виде круга, произойдет чудо:

Что интересно, все другие дроби со знаменателем 1/7 тоже могут воссозданы с помощью бесконечного движения по этому кругу – меняться будет только точка начала этого движения. Посмотрите сами:

1/7 = 0,142857142857…; 2/7 = 0,285714285714…;

3/7 = 0,428571428571…; 4/7 = 0,571428571428…;

5/7 = 0,714285714285…; 6/7 = 0,857142857142…

Давайте закончим эту главу тем же вопросом, который мы уже задавали несколько страниц назад. Чему будет равняться сумма всех чисел в таблице умножения? На первый взгляд звучит пугающе – так же, как и попытка найти сумму первых ста чисел. Но знакомство со всеми описанными выше замечательными закономерностями, которые так ловко заставляют числа танцевать, значительно повышают наши шансы легко и красиво найти правильный ответ.

Начнем с первого ряда – посчитаем сумму всех чисел в нем. Можно – как Гаусс, можно – с помощью формулы треугольных чисел, а можно – путем обычного сложения:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

Так, теперь второй ряд. Вот как это будет выглядеть:

2 + 4 + 6 +… + 20 = 2 (1 + 2 + 3 +… + 10) = 2 × 55

По той же логике, 3 ряд будет равен 3 × 55. И так далее, и тому подобное, и в результате сумму всех чисел в таблице умножения можно подсчитать так:

(1 + 2 + 3 +… + 10) × 55 = 55 × 55 = 55²

Ну а возвести в уме 55 в квадрат вы теперь можете легко и просто… 3025!

Глава номер два

Магия алгебры

Вступление с чудесами

Первый раз я столкнулся с алгеброй еще в детстве – мой отец вдруг решил дать мне урок вычислений:

– Сын, – сказал он мне. – Алгебра – все равно что арифметика. За тем исключением, что вместо чисел ты пишешь буквы. Вот, смотри: 2х + 3х = 5х, а 3у + 6у = 9у. Понимаешь?

– Вроде, понимаю.

– Очень хорошо, – сказал он. – А сколько тогда будет 3β + 4β?

– 7β, – уверенно ответил я.

– Что-то я тебя не слышу, – посетовал папа. – Можешь погромче?

– СЕМЬБЕТА!!! – заорал я.

– И ни одного ответа! – с готовностью отозвался папа. Он всегда предпочитал каламбуры, шутки и забавные истории скучным вычислениям, так что такой исход я мог бы и предвидеть.

Второй раз алгебра улыбнулась мне, когда я пытался понять один магический трюк – сейчас расскажу, какой.

Шаг 1. Задумайте число от 1 до 10 (хотя, по большому счету, можно и большее).

Шаг 2. Умножьте это число на 2.

Шаг 3. Добавьте 10.

Шаг 4. Разделите на 2.