Наша математическая вселенная. В поисках фундаментальной природы реальности - Макс Тегмарк (2014)

2. Финитные (конечные) структуры. Они тривиально вычисляются, поскольку все их отношения можно задать таблицами конечного размера.

3. Вычислимые структуры (отношения в которых определяются останавливающимися вычислениями).

4. Структуры с отношениями, определяемыми вычислениями, которые не обязательно останавливаются (могут потребовать бесконечного числа шагов), подобно примеру с функцией H.

5. Ещё более общего вида структуры, включающие в том числе континуум, где типичные элементы требуют для своего описания бесконечного количества информации.

Гипотеза вычислимой Вселенной

Интересные возможности предоставляет нам гипотеза вычислимой Вселенной (ГВВ). Она состоит в том, чтобы провести границу по варианту № 3 и дисквалифицировать структуры более общего вида:

Математическая структура, которая является нашей внешней физической реальностью, задана вычислимыми функциями.

Я имею в виду следующее: все отношения (функции), которые определяют математическую структуру, могут быть реализованы как вычисления, которые гарантированно останавливаются после конечного числа шагов. Если ГВВ неверна, то ещё более консервативной гипотезой является гипотеза финитной Вселенной (ГФВ). Она проводит границу по варианту № 2: наша внешняя реальность является финитной математической структурой.

Мне кажется интересным, что очень близкие вопросы дебатировались среди математиков без ссылок на физику. Согласно финитистской школе математиков, к которой принадлежали Леопольд Кронекер, Герман Вейль и Рубен Гудстейн, математический объект не существует, если его нельзя построить из целых чисел за конечное число шагов. Это ведёт прямо к варианту № 3.

Согласно ГВВ, математическая структура, которая является нашей физической реальностью, обладает привлекательным свойством вычислимости, а значит, является корректно определённой в строгом смысле (то есть все её отношения могут быть вычислены). Таким образом, у нашей Вселенной не может быть никаких невычислимых (неразрешимых) физических особенностей, а значит, можно не беспокоиться, что работы Чёрча, Тьюринга и Гёделя каким-то образом сделают наш мир неполным или внутренне противоречивым. Я не знаю точно, каковы свойства нашей физической реальности, но уверен, что эти свойства существуют в том смысле, что они корректно определены: природа наверняка знает, что делает.

Многих авторов озадачивало, почему наши физические законы выглядят относительно просто. Например, почему Стандартная модель физики элементарных частиц обладает такими простыми симметриями, которые мы обозначаем как SU(3) × SU(2) × U(1), и требует всего 32 параметра (гл. 10), тогда как большинство альтернатив значительно сложнее её? Очень соблазнительно думать о том, что свой вклад в эту простоту внесла ГВВ, которая строго ограничивает сложность природы. Может быть, изгнав континуум, ГВВ также поможет уменьшить размер инфляционного ландшафта и разрешить космологическую проблему меры? Она в значительной мере связана с возможностью истинного континуума вечно испытывать экспоненциальное расширение, порождая бесконечное число наблюдателей.

Это были хорошие новости. Однако, хотя ГВВ имеет привлекательные черты, гарантирующие строгую определённость нашей Вселенной и, возможно, снижающие остроту космологической проблемы меры за счёт ограничения того, что считается существующим, она также приводит к серьёзным вызовам.

Прежде всего меня беспокоит, что ГВВ кажется сдачей важных философских высот, так как, по сути, она признаёт: хотя где-то существуют все математические структуры, некоторые из них обладают привилегированным статусом. Но если ГВВ верна, то все остальные математические ландшафты являются, по большому счёту, иллюзиями, фундаментально неопределёнными и в любом смысле несуществующими.