Наша математическая вселенная. В поисках фундаментальной природы реальности - Макс Тегмарк (2014)

Третья функция, H(m,n), ещё более скверная: пионеры кибернетики Алонзо Чёрч и Алан Тьюринг установили, что не существует программы, которая могла бы вычислить H(m, n) для произвольных аргументов m и n за конечное число шагов, так что H(m,n) — это пример невычислимой функции. Иными словами, не существует программы, способной определять, какие из других программ в конце концов остановятся. Конечно, любая программа либо остановится, либо нет, но хитрость в том, что, как и в случае с простыми числами-близнецами, вам, возможно, понадобится ждать окончания расчётов вечно. Открытие Черчем и Тьюрингом невычислимых функций тесно связано с открытием логиком Куртом Гёделем того факта, что некоторые арифметические теоремы неразрешимы, то есть их нельзя ни доказать, ни опровергнуть за конечное число шагов.

Следует ли рассматривать математические структуры как корректно определённые, даже если они содержат такие отношения, как H, которые нельзя вычислить и на сколь угодно мощном компьютере? Если да, то такая структура может быть известна лишь подобной оракулу сущности, которая способна реально выполнить бесконечное число вычислительных шагов, необходимых для получения ответа. Такие структуры никогда не появятся в обсуждавшемся выше основном списке: он учитывает лишь структуры, определимые с помощью обычных компьютерных программ, а не при участии всемогущего оракула.

Наконец, рассмотрим одну из самых популярных математических структур нашего времени — вещественные числа (наподобие 3,141 592…, где последовательность десятичных цифр тянется до бесконечности). Они образуют континуум, и для задания даже одного произвольного такого числа потребуется список из бесконечного числа цифр, то есть бесконечное количество информации. Это означает, что обычные компьютерные программы не способны обрабатывать такие числа: проблема касается не только выполнения бесконечного числа вычислительных шагов, как в примере с функцией H, но также ввода и вывода бесконечного количества информации.

С другой стороны, работа Гёделя может вызвать беспокойство: не лишена ли смысла ГМВ в применении к бесконечным структурам? Наша Вселенная тогда оказалась бы в некотором смысле противоречивой или неопределённой. Если принять тезис математика Давида Гильберта о том, что «математическое существование сводится, по сути, к отсутствию противоречий», то внутренне противоречивая структура не существует математически, не говоря уже о физическом существовании, как в ГМВ. Стандартная модель физики включает такие повседневно применяемые математические структуры, как целые и вещественные числа. Тем не менее работа Гёделя оставляет открытыми вопросы, не является ли повседневная математика внутренне противоречивой и не существует ли в рамках теории чисел доказательства конечной длины, демонстрирующего, что 0 = 1. На основе такого шокирующего результата можно было бы доказать, что любое синтаксически корректное утверждение о целых числах является истинным, и математика в том виде, как мы её знаем, обрушилась бы, подобно карточному домику.

Подобные сомнения относительно неразрешимости и внутренней противоречивости применимы лишь к математическим структурам, содержащим бесконечно много элементов. Присущи ли бесконечности, неразрешимости и потенциальные внутренние противоречия непосредственно фундаментальной физической реальности? Или это, по сути, миражи, артефакты, возникающие в результате нашей игры с огнём и применения мощных математических инструментов, которые скорее более удобны в использовании, нежели подходят для фактического описания нашей Вселенной? То есть — насколько корректно определёнными должны быть математические структуры, чтобы быть реальными, выступать членами мультиверса IV уровня?

Есть целый спектр интересных возможностей для квалификации структур:

1. Нет структур (т. е. гипотеза математической Вселенной неверна).